不完備定理

Die Grundzeichen des Systems P sind die folgenden:
I.Konstante: "~"(nicht), "v"(oder), "Π" (fuer alle), "0" (null), "f" (der Nachfolger von), "(", ")", (Klammern).

II.Variable ersten Typs(fuer Individuen, d. h. natuerliche Zahlen inklusive 0)):

下列為P系統之基本符：
I.常符:
~ : 非
v : 或
Π : 對所有
0 : 零
f : 後繼函數，命名源自德文後繼 Nachfolger
( ) :括號

II.第一型變數(對個體，即自然數包含零)

陣列操作

哥德爾數定義

17.Z(n) ≡ nN[R(1)]
Z(n) ist das Zahlzeichen für die Zahl n.
Z(n) 是整數 n 的整數符號表示。

命名源自德文整數 Zahl。



Satz V. Zu Jeder rekursiven Relation R(x1...xn)  gibt es ein n-stelliges Relationenszeichen r (mit den freien Variablen) (u1, u2...un), so daß für alle Zahlen-n-tuple (x1, x2,...xn) gilt:

定理V. 對每個遞迴關係 R(x1...xn) 均有一個 n 元關係符號 r(帶有自由變數)(u1,u2...un)，且對所有n元整數序對(x1,x2...xn)滿足下式：

R(x1...xn) => Bew[Sb(r u1     ...un    )]                 (3)
                                       Z(x1)...Z(xn)

~R(x1...xn) => Bew[Neg Sb(r u1     ...un    )]        (4)
                                                Z(x1)...Z(xn)